حل تمرین 5و 6 صفحه 48 ریاضی دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه 48 ریاضی دهم انسانی اگر یک رابطه **تابع** باشد، به این معنی است که مؤلفه‌های اول یکسان باید مؤلفه‌های دوم یکسان نیز داشته باشند. ما از این قانون برای یافتن $\mathbf{x}$ و $\mathbf{y}$ استفاده می‌کنیم. ### گام ۱: تشکیل دستگاه معادلات 1. **تکرار ورودی $\mathbf{2}$:** زوج مرتب‌های $\mathbf{(2, x + y)}$ و $\mathbf{(2, 4)}$ باید خروجی‌های برابری داشته باشند: $$\mathbf{x + y = 4 \quad (معادله ۱)}$$ 2. **تکرار ورودی $\mathbf{5}$:** زوج مرتب‌های $\mathbf{(5, 2)}$ و $\mathbf{(5, x - y)}$ باید خروجی‌های برابری داشته باشند: $$\mathbf{x - y = 2 \quad (معادله ۲)}$$ ### گام ۲: حل دستگاه معادلات دستگاه معادلات را با روش جمع یا حذفی حل می‌کنیم: $$\begin{cases} \mathbf{x + y = 4} \\ \mathbf{x - y = 2} \end{cases}$$ 1. **جمع کردن دو معادله:** $$\mathbf{(x + y) + (x - y) = 4 + 2}$$ $$\mathbf{2x = 6 \Rightarrow x = 3}$$ 2. **یافتن $\mathbf{y}$ (با جایگذاری $\mathbf{x=3}$ در معادله ۱):** $$\mathbf{3 + y = 4 \Rightarrow y = 4 - 3 = 1}$$ **مقادیر مجهول:** $\mathbf{x = 3}$ و $\mathbf{y = 1}$ ### گام ۳: نوشتن مجموعه $\mathbf{f}$ و محاسبه $\mathbf{x^2 + y^2}$ 1. **مجموعه $\mathbf{f}$ بازنویسی شده:** $$\mathbf{f = \{(2, 3 + 1), (2, 4), (5, 2), (3, 4), (5, 3 - 1)\}$$ $$\mathbf{f = \{(2, 4), (2, 4), (5, 2), (3, 4), (5, 2)\}$$ $$\mathbf{f = \{(2, 4), (5, 2), (3, 4)\}$$ 2. **محاسبه $\mathbf{x^2 + y^2}$:** $$\mathbf{x^2 + y^2 = (3)^2 + (1)^2 = 9 + 1 = 10}$$ **پاسخ نهایی:** $\mathbf{x^2 + y^2 = 10}$. (مجموعه‌ی $\mathbf{f}$ پس از محاسبه: $\mathbf{\{(2, 4), (5, 2), (3, 4)\}}$.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه 48 ریاضی دهم انسانی برای تشخیص تابع از روی نمودارهای مختصاتی گسسته (نقاط جداگانه)، باید به **مؤلفه‌های اول ($athbf{x}$)** نگاه کنیم. اگر هیچ خط عمودی‌ای نمودار را در بیش از یک نقطه قطع نکند، تابع است. ### الف) تحلیل نمودار الف * **نقاط نمودار:** $\mathbf{(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2)}$ * **مؤلفه‌های اول:** $\mathbf{1, 2, 3, 4}$ * **تحلیل:** هیچ خط عمودی‌ای بیش از یک نقطه را قطع نمی‌کند (مؤلفه‌های $\mathbf{x}$ تکراری نیستند). * **پاسخ:** **تابع است.** (این یک تابع ثابت است.) ### ب) تحلیل نمودار ب * **نقاط نمودار:** $\mathbf{(-2, 1), (-1, 1), (1, 1), (3, 1)}$ و $\mathbf{(1, 2), (3, 2)}$ * **مؤلفه‌های اول تکراری:** * در $\mathbf{x = 1}$: دو نقطه $\mathbf{(1, 1)}$ و $\mathbf{(1, 2)}$ وجود دارد. * در $\mathbf{x = 3}$: دو نقطه $\mathbf{(3, 1)}$ و $\mathbf{(3, 2)}$ وجود دارد. * **تحلیل:** خط عمودی $\mathbf{x=1}$ و $\mathbf{x=3}$ نمودار را در دو نقطه قطع می‌کند. * **پاسخ:** **تابع نیست.** **پاسخ نهایی:** نمودار **(الف)** یک تابع را مشخص می‌کند.